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巨人教育——二次函数

2022-06-27 20:56:24

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函数内容的学习一直是很多学生的重难点,甚至一些学生与理想的学校失之交臂,就是因为函数内容没学好,无法取得中考数学高分。

初中数学要学到函数一般有三种:一次函数(包含正比函数)、反比例函数、二次函数。其中二次函数作为初中数学当中最重要内容之一,一直受到中考数学命题老师的青睐。

今天我们就一起来简单讲讲如何求二次函数的解析式,在初中数学教材里,二次函数的解析式一般有以下三种基本形式:

1、一般式: 

2、顶点式:,其中顶点坐标为(m,k),对称轴为直线x=m 

3、交点式:,其中是抛物线与x轴的交点的横坐标。

那么这三种形式有什么区别呢?在解决实际问题过程中,该如何选择呢?求二次函数的解析式的方法我们一般采用待定系数法,即将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式,这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组,其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数,或找出某些系数所满足的关系式,这种解决问题的方法叫做待定系数法。

我们结合待定系数法和三种二次函数基本形式来确定函数关系式,一定要根据不同条件,设出恰当的解析式,具体如下: 

1、若给出抛物线上任意三点,通常可设一般式来求解。 

2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值,通常可设顶点式来求解。 

3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离,通常可设交点式来求解。

值得注意的是,用交点式来求二次函数的解析式,前提条件是二次函数与x轴有交点坐标。

求解二次函数解析式,典型例题分析1

已知一个二次函数图象经过(-1-3)、(212)和(11)三点,那么这个函数的解析式是_______       

解:将点(-1-3)、(212)和(11)坐标代入,可解得a=3,b=2,c=-4

因此所求函数解析式为

求出待定系数a,b,c,进而获得解析式

解题反思:

已知二次函数图象上的三个点,可设其解析式为,将三个点的坐标代入,把问题转化为求解一个三元一次方程组,易得a=3,b=2,c=-4,故所求函数解析式为

求解二次函数解析式,典型例题分析2

已知二次函数的图象过(-1,-9)、(1,-3)和(3,-5)三点,求此二次函数的解析式。

解:设此二次函数的解析式为,由题意(-1,-9)、(1,-3)和(3,-5)三点带入,

解得a=-1,b=3,c=-5

所求的二次函数的解析式为

求解二次函数解析式,典型例题分析3

在平面直角坐标系中,顶点为A1,﹣1)的抛物线经过点B53),求抛物线的解析式。

解:(1)设抛物线的解析式为

B点坐标代入函数解析式,

解得a=0.25

故抛物线的解析式为.

求解二次函数解析式,典型例题分析4

已知抛物线的顶点(-1,-2)且图象经过(110),求解析式。

解:设抛物线,由题意得:

m=-1k=-2 

抛物线过点(110

将其带入解析式解得a=3

即解析式为.

求解二次函数解析式,典型例题分析5

已知二次函数的图象与轴的交点为(-50),(20),且图象经过(3,-4),求解析式。

解:设所求解析式为y=a(x+5)(x2)

图象经过(3,-4

∴a(x+5)(x2)=-4    

∴a=-0.5

即:y=-0.5(x+5)(x2)

则所求解析式为

 

2

二次函数中考复习指导,学会求解二次函数代数应用相关问题

二次函数作为初中数学的重要内容之一,在中考数学中,占据着重要的地位。如它可以单独命题,也可以二次函数相关知识内容为背景,结合其他数学知识内容,形成更为复杂的综合问题,像函数综合问题、二次函数与几何综合问题、二次函数的代数应用等等,这些题型都需要考生具有较强的知识应用能力,能把基础基础知识构筑成知识网络等。

每一年中考数学复习,老师都会强调二次函数的重要性,叮嘱学生做好二次函数的复习工作。不过,虽然大家都知道二次函数的重要性,但纵观历年中考数学试卷得分情况来看,很多考生在理解概念、记忆概念以及解题过程中,极易出现概念混淆、公式记忆吃力、解题错误多等问题,造成失分。

因此,今天我们结合教学实践、中考复习策略等,一起来探讨二次函数的复习策略,为大家提高在中考过程中能从容应对二次函数相关问题,提供一定的解题策略。

在中考数学中,二次函数会考什么?一般会涉及到二次函数的概念、图象与性质、函数综合问题、函数与几何等等。其中,函数综合问题、函数与几何是大家关心比较多、接触比较多的题型,往往对二次函数代数方面的应用接触比较少,这就造成一部分考生在考试中,遇见此类问题无从下手,找不到解题思路等。

二次函数作为初中代数的基础内容之一,也是最基础的初等函数,它具有丰富的内涵和外延,如可以用它来研究函数的增减性性、最值、对称性等性质,或是解决实际问题等等。

中考数学,二次函数代数应用,典型例题分析1

使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点.例如,对于函数y=x-1,令y0,可得x1,我们就说1是函数y=x-1的零点.

己知函数 y=x2-2mx-2m+3(m为常数)

1)当m0时,求该函数的零点;

2)证明:无论m取何值,该函数总有两个零点;

3)设函数的两个零点分别为x1x2,且1/x1+1/x2=-1/4,此时函数图象与x轴的交点分别为AB(A在点B左侧),点M在直线y=x-10上,当MAMB最小时,求直线AM的函数解析式. 

考点分析:

二次函数;一元二次方程;轴对称;一次函数。

题干分析:

1)当m0时,该函数为yx26,令y0,则得相应的一元二次方程,解该方程即得此时该函数的零点.

2)令y0,得一元二次方程x22mx2(m3)0,对该方程的根的判别式的变形,可化为=(-2m2-4[-2m+3]=4m+12+200,即得所证结论.

3)如下图,在直线yx10上找一点M,使MAMB的值最小,只有通过轴对称知识将在直线的同侧的两点转化在直线的两侧,故可作点B关于直线y=x-10的对称点B′,连结AB′,则AB′与直线y=x-10的交点就是满足条件的M点.如何求出点B′的坐标是解决这个问题的关键:因△OCD是等腰直角三角形,故∠B′CD∠BCD45°

,从而∠BCB′90°,即B′10-6),最后利用待定系数法就容易求得直线AM的解析式了。

解题反思:

本试卷是双题压轴,这个压轴题综合考查了二次函数、一元二次方程、轴对称、一次函数等诸多知识点,综合性很强,并且是阅读理解题。先通过新定义函数的零点概念,再由此设计由易到难的题组题,目的是考查学生阅读理解能力和解一元二次方程知识、一元二次方程根的判别式、配方法、轴对称、三角形、一次函数等知识。

最后一问绝对具有甄别功能,对基础中等的学生都会感到吃力,要想突破这个难点,只有先找使MAMB取最小值时的直线yx10上的点M,求线段和的最小值就容易想到轴对称。最后利用等腰三角形性质就求出要求直线的另一点的坐标,从而利用待定系数法求得所求一次函数的解析式。

中考数学,二次函数代数应用,典型例题分析2

一幅长20cm、宽12cm的图案,如图,其中有一横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为32.设竖彩条的宽度为xcm,图案中三条彩条所占面积为ycm2

1)求yx之间的函数关系式;

2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的2/5,求横、竖彩条的宽度.

 

解:(1)根据题意可知,横彩条的宽度为3x/2cm

∴y=20×3x/2+2×12•x2×3x/2•x=3x2+54x

yx之间的函数关系式为y=3x2+54x

2)根据题意,得:﹣3x2+54x=2/5×20×12

整理,得:x218x+32=0

解得:x1=2x2=16(舍),

∴3x/2=3

答:横彩条的宽度为3cm,竖彩条的宽度为2cm

考点分析:

一元二次方程的应用;根据实际问题列二次函数关系式.

题干分析:

1)由横、竖彩条的宽度比为32知横彩条的宽度为3x/2cm,根据:三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积,可列函数关系式;

2)根据:三条彩条所占面积是图案面积的2/5,可列出关于x的一元二次方程,整理后求解可得。

在求解二次函数代数应用相关问题中,需要大家会求二次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、增减性、最值等等,而要想正确解决这些,有需要大家掌握好一元二次方程、因式分解、运算技巧等相关知识内容和方法技巧,要运用到代数方面许多有关知识和技能去解决问题,这无形之中加大了解题难度。

二次函数代数应用相关问题,具有一定的推理难度,需要考生具备一定的逻辑推理能力。随着中考改革不断加深,此类问题近几年还呈现出立意新颖、抽象程度高、灵活性大、解法多样等鲜明特点。

中考数学,二次函数代数应用,典型例题分析3

一玩具厂去年生产某种玩具,成本为10/件,出厂价为12/件,年销售量为2万件.今年计划通过适当增加成本来提高产品档次,以拓展市场.若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍,今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍,则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(本题中0x≤11).

1)用含x的代数式表示,今年生产的这种玩具每件的成本为       元,今年生产的这种玩具每件的出厂价为        元.

2)求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式.

3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元,求当x为何值时,今年的年销售利润最大?最大年销售利润是多少万元?

注:年销售利润=(每件玩具的出厂价-每件玩具的成本)×年销售量.

解(110+7x12+6x

2y=(12+6x)-(10+7x),

∴y2x  0x2);

3∵w21+x•y=-21+x)(x2)=-2x2+2x+4

∴w=-2x0.52+4.5

200x≤11

∴w有最大值,

x0.5时,w最大=4.5(万元).

答:当x0.5时,今年的年销售利润最大,最大年销售利润是4.5万元.

考点分析:

二次函数的应用;应用题。

题干分析:

1)根据题意今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍,即为(10+10•0.7x)元/件;这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍,即为(12+12•0.5x)元/件;

2)今年这种玩具的每件利润y等于每件的出厂价减去每件的成本价,即y=(12+6x)-(10+7x),然后整理即可;

3)今年的年销售量为(2+2x)万件,再根据年销售利润=(每件玩具的出厂价-每件玩具的成本)×年销售量,得到w=-21+x)(x2),然后把它配成顶点式,利用二次函数的最值问题即可得到答案.

解题反思:

本题考查了二次函数的顶点式:yaxk2+h,(a≠0),当a0,抛物线的开口向下,函数有最大值,当xk,函数的最大值为h.也考查了代数式的表示和利润的含义以及配方法。

二次函数是初中代数的重要内容之一,也是各地中考试题中重点考查的知识点之一,试题越来越重视对学生灵活运用知识的能力、探索创新能力和实践能力的考查。

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